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2.1 - Sommari
Spazi Vettoriali - Sommario

A. LE DEFINIZIONI BASILARI

Spazi e sottospazi vettoriali. Formalizzazione del linguaggio a partire dalla lezione del 31.10.2023

A1. Spazio vettoriale

Spazi Vettoriali

Definizione di -spazio vettoriale, gli 8 assiomi dei spazi vettoriali. L'utilità di spazi vettoriali; esempi di spazi vettoriali.

1. Definizione di spazio vettoriale e vettore

Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K).

Un -spazio vettoriale (o spazio vettoriale su , dove è un campo (Definizione 2 (campo))) è un insieme , dotato di due operazioni definiti come: tali per cui e sono soddisfatte le seguenti proprietà: Inoltre uno spazio vettoriale può essere anche definito con la seguente terna:

Definizione 2 (l'elemento neutro di un spazio vettoriale).

Chiamiamo l'elemento della l'elemento neutro. In alternativa si può denominarla come , in riferimento al spazio vettoriale .

Osservazione 3 ( non verrà chiamato come l'elemento neutro).

Notare che nella non chiameremo l'elemento neutro per ragioni di convenzione, particolarmente per quanto riguarda l'algebra astratta. Infatti, per essere definito tale, si dovrebbe trattare di una moltiplicazione interna in (ovvero del tipo )

Proposizione 4 ( è un -spazio vettoriale).

Ciò che abbiamo visto fino ad ora ci mostra che (ovvero l'insieme dei vettori liberi nel piano (Vettori Liberi)) è un -spazio vettoriale.

Definizione 5 (vettore).

Sia un -spazio vettoriale; gli elementi si dicono vettori.
! ATTENZIONE ! Si nota immediatamente che questa definizione del vettore non deve necessariamente corrispondere alla nostra idea di un vettore libero.

2. Conseguenze immediate delle 8 "v"

Proposizione 6 (l'unicità di ).

L'assioma garantisce che esiste almeno un vettore neutro tali che certe proprietà vengono soddisfatte; però ciò che NON garantisce è l'unicità del vettore neutro . Potrebbe esistere un altro vettore neutro che possiamo chiamare .
Però non esiste e lo dimostreremo.

DIMOSTRAZIONE dell'unicità di
Voglio dimostrare che se è un -spazio vettoriale, allora l'elemento neutro è unico.
Supponiamo quindi che esistano due elementi neutri: e ; mostreremo che con questa supposizione deve necessariamente valere , quindi da questo seguirà la tesi.
Per ipotesi, , In scegliamo ; allora In scegliamo invece ; allora Quindi notiamo che per la proprietà transitiva dell'uguaglianza, .

Proposizione 7 ( è l'elemento nullo dello scalamento).

La proposizione sembra ovvia e banale, come ci suggerirebbe la notazione; però in realtà non lo è veramente, in quanto associamo due concetti diversi; da una parte abbiamo lo scalamento del vettore per , dall'altra abbiamo il vettore neutro .
Quindi vogliamo dimostrare che se è un spazio vettoriale su , allora per ogni sussiste la proposizione.

DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.2.
Per dimostrare la tesi, supponiamo che e quindi abbiamo che:

Osservazione 8 (c'è ancora qualcosa da dimostrare).

Notare che in questi passaggi abbiamo fatto un assunto che non è dato per scontato; ovvero che il vettore opposto è unico ad ogni vettore . Infatti questo assunto è ancora da dimostrare (che è necessario per non invalidare questa dimostrazione).

Proposizione 9 (l'elemento opposto è l'elemento scalato per ).

Anche la proposizione sembra intuitiva, ma in realtà non è dato per scontato secondo gli assiomi ; infatti da un lato abbiamo lo scalamento di un vettore, invece dall'altro abbiamo il vettore opposto del vettore .
Quindi vogliamo dimostrare che se è un spazio vettoriale su , allora per ogni vettore vale la proposizione appena enunciata.

DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.3.
Per dimostrare la tesi, utilizziamo la proprietà , ovvero e dimostriamo la seconda uguaglianza, assumendo che ;

EXCURSUS. Il senso della definizione dei spazi vettoriali

Osservazione 10 (il senso di definire e studiare i spazi vettoriali).

Si nota che in questa pagina non abbiamo veramente imparato qualcosa di nuovo; come il filosofo F. Nietzsche criticherebbe l'uomo che produce la definizione di un mammifero poi per riconoscere un cammello come un mammifero, non abbiamo veramente scoperto nulla di nuovo: infatti abbiamo solo dato definizioni poi per riconoscerle, ad esempio abbiamo definito lo spazio vettoriale e abbiamo riconosciuto come uno spazio vettoriale.

In realtà il discorso del filosofo tedesco non varrebbe qui: abbiamo dato questa definizione di spazio vettoriale per un motivo ben preciso, ovvero quello di astrarre, "abs-trahĕre". Astrarre nel senso che togliamo l'aspetto "accidentale" dei vettori geometrici, concentrandoci invece sull'aspetto "sostanziale".

Infatti dopo potremmo vedere che esistono molti insiemi che sono dei spazi vettoriali; se dimostro che un certo insieme è uno spazio vettoriale, allora le proprietà saranno sicuramente vere.

"Se io produco la definizione di un mammifero e poi dichiaro, alla vista di un cammello: guarda, un mammifero! certo con questo una verità viene portata alla luce, ma essa è di valore limitato, mi pare; in tutto e per tutto essa è antropomorfica e non contiene un solo singolo punto che sia «vero in sé», reale e universalmente valido, al di là della prospettiva dell’uomo." (Su verità e menzogna in senso extramorale, 1896, Friedrich Nietzsche)

3. Esempi di spazi vettoriali

Esempio 11 ().

Consideriamo ; con l'usuale definizione di somma e moltiplicazione , si verifica che anche è uno -spazio vettoriale.

Esempio 12 ().

Consideriamo , ovvero con le operazioni allora è uno spazio vettoriale.

Esempio 13 ().

Generalizziamo l'ESEMPIO 2.1. Coppie ordinate ; ovvero definiamo è l'insieme delle -uple ordinate dei numeri reali, con le operazioni è uno spazio vettoriale su .

Esempio 14 (, l'insieme delle funzioni reali).

Consideriamo l'insieme delle funzioni di variabile reale (Definizione 5 (funzione di reale variabile)), ovvero con le operazioni

Osservazione 15 (chiarimenti sul comportamento della sommo a dello scalamento).

Qui è importante chiarire il comportamento della somma, in quanto per noi non risulta immediatamente intuibile. Siano funzioni, quindi ove data dalla seguente: se , allora

Lo stesso discorso vale per lo scalamento; ove per ogni reale,

Osservazione 16 (la "funzione nulla").

Vogliamo trovare la funzione nulla, ovvero la funzione che appartiene a e gioca lo stesso ruolo di . La funzione la chiamiamo e si definisce come infatti, se definiamo , allora Abbiamo visto che , pertanto quindi abbiamo verificato che è l'elemento neutro dello spazio vettoriale .

A2. Sottospazio vettoriale

Sottospazi Vettoriali
Sottospazi Vettoriali

Sottospazio vettorali: definizione, esempi, interpretazione geometrica. Alcuni lemmi sui sottospazi vettoriali.

1. Sottospazio Vettoriale

Definizione 1 (sottospazio vettoriale).

Sia un -spazio vettoriale; un sottoinsieme si dice un sottospazio vettoriale se valgono le seguenti:

  1. Il vettore nullo di appartiene a
  2. ; vale che (chiusura rispetto alla somma)
  3. , , vale che (chiusura rispetto allo scalamento)
Esempio 2 ().

Consideriamo ora l'-spazio vettoriale , ovvero introdotto in precedenza (ESEMPIO 2.1.).
Ora consideriamo il seguente sottoinsieme ; Facciamo le seguenti osservazioni.

Osservazione 3 (l'elemento nullo di ).

In esiste il vettore nullo ; in questo caso il vettore nullo vale anche in .

Osservazione 4 (somma in ).

In è definita una somma . Se , sono due elementi di , allora sono in particolare elementi di ; dunque . In aggiunta vale che . Infatti: se allora quindi ovvero ovvero

Osservazione 5 (scalamento in ).

Infine consideriamo e . Se allora vale anche Infatti se , allora ;

2. Interpretazione geometrica

Esempio 6 (la retta sul piano).

Consideriamo come l'insieme dei punti nel piano, ovvero il classico piano cartesiano
Definiamo il sottoinsieme Ovviamente è uno sottospazio vettoriale di ; notiamo che se rappresentiamo come l'insieme dei punti nel piano, allora si può rappresentare come l'insieme dei punti nella retta , ove

FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
Pasted image 20231006182940.png

Esempio 7 (la circonferenza sul piano).

In consideriamo il seguente: Osserviamo subito che la proprietà caratterizzante di non è un'equazione lineare; infatti si tratta di un'equazione di secondo grado.
Precisamente nel contesto della geometria analitica, rappresenterebbe la circonferenza ove , quindi , rappresentano le coordinate dell'origine del cerchio e , quindi , il raggio.
Vediamo subito che non è un sottospazio vettoriale di , in quanto non appartiene a .

FIGURA 2.2. (Esempio 2.2.)
Pasted image 20231006182954.png

3. Formare sottospazi a partire da due sottospazi

Lemma 8 (l'intersezione di due sottospazi forma un sottospazio).

Sia un K-spazio vettoriale, siano dei sottospazi vettoriali di .
Se voglio avere un nuovo sottospazio vettoriale a partire da allora posso prendere la loro intersezione (Operazioni con gli Insiemi). Infatti è sottospazio vettoriale di .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 3.1.
Verifichiamo che sia sottospazio vettoriale di , quindi che soddisfa le tre proprietà elencate in DEF 1..

  1. è vera perché per ipotesi abbiamo che appartiene sia ad che , in quanto sono dei sottospazi vettoriali; quindi è un elemento comune di questi due insiemi.
  2. Possiamo verificare la chiusura della somma: infatti
  3. Ora verifichiamo la chiusura dello scalamento con lo stesso procedimento:

Il vuoto

Osservazione 9 (l'unione di due sottospazi NON forma un sottospazio).

Purtroppo questa non vale per l'unione di due sottospazi vettoriali.
Infatti, avendo uno spazio vettoriale e i suoi sottospazi vettoriali, non è sempre garantito che sia anch'esso uno sottospazio vettoriale. Qui la simmetria si spezza.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE di osservazione 3.1..
Per "dimostrare" questa osservazione troviamo alcuni esempi specifici di sottospazi vettoriali per cui non vale almeno una delle tre proprietà dello sottospazio vettoriale: scopriremo che non varrà la chiusura della somma per un caso specifico.
Considero , Per ora mostriamo algebricamente che non vale la chiusura della somma per .

  1. Scegliamo alcuni elementi di ;
  2. Ora li sommiamo
  3. Verifichiamo che Infatti Volendo si può vedere la situazione graficamente, osservando che e corrispondono a rette passanti per l'origine e vedendo poi che vettore libero dato dalla somma di due vettori non appartiene alla nessuna delle due rette.

FIGURA 3.1. (Osservazione 3.1.)
Pasted image 20231120203659.png

Sottospazio somma

Allora vogliamo trovare un "surrogato" per questo vuoto formato dal fatto che non sia uno sottospazio.

Definizione 10 (sottospazio somma).

Sia un K-spazio vettoriale, siano due sottospazi vettoriali di .
Definiamo dunque il sottospazio vettoriale somma di come

Lemma 11 (la somma di due sottospazio forma un sottospazio).

è sottospazio vettoriale di .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE. (Esercizio lasciato a noi)

  1. L'appartenenza dell'elemento neutro
    Verifichiamo che è vera: infatti basta scegliere .
  2. Chiusura della somma
  3. Chiusura dello scalamento
Lemma 12 (due sottospazi appartengono alla loro somma).

Con la notazione precisa valgono che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 3.2..
Mostrare la prima significa mostrare che per ogni elemento di vale che appartiene anche a . Analogamente lo stesso discorso vale per elemento di .

Corollario 13 (l'intersezione di due sottospazi appartiene alla loro somma).

Vale che inoltre si può dimostrare che è il più piccolo sottospazio vettoriale di che contiene .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 3.1..
Omessa.

B. LA COMBINAZIONE LINEARE E I SUOI FIGLI

B1. Combinazione lineare

Combinazione Lineare
Combinazione Lineare

Definizione di combinazione lineare di un K-spazio vettoriale; definizione di ; definizione di sistema di generatori per uno sottospazio vettoriale.

1. Definizione di Combinazione Lineare

Definizione 1 (Definizione 1.1. (combinazione lineare)).

Sia un K-spazio vettoriale (Spazi Vettoriali, DEF 1.), siano degli elementi di . Alternativamente possiamo pensare questi elementi come il sottoinsieme .
Allora definiamo combinazione lineare un qualsiasi vettore (Spazi Vettoriali, DEF 1.1.) della forma dove .

Esempio 2 (esempio su ).

In considero Una combinazione lineare di può essere ad esempio

2. L'insieme delle combinazioni lineari span

Ora voglio considerare l'insieme delle combinazioni lineari.

Definizione 3 (span di un insieme di vettori).

Sia un K-spazio vettoriale e sia .
Allora chiamo lo span di o di come l'insieme di tutte le combinazioni lineari di tale sottoinsieme : oppure in forma compatta

Lemma 4 (lo span è sempre un sottospazio vettoriale).

Lo span di un qualunque è sottospazio vettoriale di (Sottospazi Vettoriali).

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 2.1.
Verifichiamo le tre proprietà fondamentali dello sottospazio vettoriale.

  1. L'appartenenza dell'elemento 0
    Verifichiamo che può essere espresso come una combinazione lineare ponendo tutti i coefficienti .
  2. Chiusura della somma
    Siano . Allora per ipotesi abbiamo Allora sommandoli abbiamo è
  3. Chiusura dello scalamento
    Sia , . Allora

3. Sistema di generatori

Definizione 5 (sistema di generatori per un spazio vettoriale).

Sia un K-spazio vettoriale, un qualunque sottospazio vettoriale di .
Un insieme di elementi si dice un sistema di generatori di/per se ogni vettore è una combinazione lineare dell'insieme di elementi stesso; equivalentemente èovvero se ogni vettore di è una combinazione lineare di quell'insieme di elementi, allora quell'insieme è un sistema di generatori.

Esempio 6 (su ).

Consideriamo , (ovvero ) e i vettori Vale che è un sistema di generatori per .
Infatti dato un vettore abbiamo .
Notiamo inoltre che se definiamo allora anche è un sistema di generatori per .

Osservazione 7 (la flessibilità dei sistemi di generatori).

Osserviamo che se è un sistema di generatori per allora anche questo è un sistema di generatori per .
In parole, dato un sistema di generatori per un certo sottoinsieme allora possiamo aggiungerci qualsiasi elemento del sottoinsieme, dandoci comunque un altro sistema di generatori per lo stesso sottoinsieme.
Da questo discende che la definizione di sistema di generatori presenta in sé molta flessibilità e variabilità; tuttavia secondo una specie di "legge meta-matematica", troppa flessibilità è un segno di un ente matematico meno forte.
Introdurremo dunque della "rigidità" con le basi (Definizione di Base), arricchendo questo concetto con ulteriori vincoli.

B2. Dipendenza, indipendenza lineare

Dipendenza e Indipendenza Lineare
Dipendenza e Indipendenza Lineare

Definizione di dipendenza o indipendenza lineare per degli elementi di uno spazio vettoriale.

1. Dipendenza lineare

Definizione 1 (dipendenza lineare di vettori).

Sia un K-spazio vettoriale, siano elementi (o vettori) di (Spazi Vettoriali).
Allora gli elementi/vettori si dicono linearmente dipendenti se possiamo scrivere il vettore nullo come la combinazione lineare (Combinazione Lineare) di in cui non tutti i coefficienti in sono nulli. Ovvero

Proposizione 2 (definizione 'alternativa' di dipendenza lineare).

Sia un K-spazio vettoriale, siano . Allora questi vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi può essere scritto come combinazione lineare di altri vettori.
Equivalentemente, se e solo se

Definizione 3 (esclusione di alcuni elementi da una n-upla).

Per poter compattare la scrittura sopra si può scrivere come e il "cappello" su vuol dire che lo escludiamo dalla n-upla.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1.
Dimostro che vale l'implicazione da ambi i lati in quanto abbiamo un enunciato del tipo "se e solo se".
" ": Suppongo che siano linearmente dipendenti. Allora " ": Suppongo che . Allora

2. Indipendenza lineare

Ora siamo pronti per definire l'indipendenza lineare.

Definizione 4 (vettori linearmente indipendenti).

Sia un K-spazio vettoriale, dei vettori di .
Dichiamo che questi vettori sono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti.
Equivalentemente, sono linearmente indipendenti se e solo se l'unico modo di scrivere è quello di porre tutti i coefficienti
Alternativamente,

Esempio 5 (esempio su ).

Considero in i seguenti vettori: Vale che sono linearmente dipendenti dal momento che Invece vale che sono linearmente indipendenti in quanto se suppongo allora vale che In parole l'unico modo di scrivere il vettore nullo come la combinazione lineare di è quello di porre .

B3. Nesso tra i spazi vettoriali e i sistemi lineari

Generatori, Indipendenza Lineare e Sistemi Lineari
Generatori, Indipendenza Lineare e Sistemi Lineari

Breve osservazione sui concetti di generatori, indipendenza lineare come astrazioni di aspetti dei sistemi lineare.

Osservazione sui sistemi di generatori e indipendenza lineare

Osservazione 1 (sistemi di generatori in termini di sistemi lineari).

In , l'essere un sistema di generatori può essere "parafrasato" in termini di sistemi lineari (Sistemi Lineari); infatti se è un sistema di generatori per , allora abbiamo
ATTENZIONE! Notiamo che usiamo l'altro valore in quanto è stato già fissato con : infatti non abbiamo stabilito a priori che .
Scriviamo dunque
Allora "l'essere una combinazione lineare del sistema di generatori" equivale ad avere il seguente sistema lineare:
Quindi si dice che è combinazione lineare di se e solo se il sistema lineare del tipo
è compatibile.

Osservazione 2 (indipendenza lineare in termini di sistemi lineari).

Analogamente l'essere linearmente indipendenti può essere parafrasata in termini di sistemi lineari usando il sistema lineare omogeneo associato: infatti avendo un sistema del tipo
e se questa è compatibile e la sua soluzione è unica, allora tutti i vettori sono linearmente indipendenti.

Osservazione 3 (a mo' di conclusione).

Concludiamo che i concetti di sistemi di generatori (Combinazione Lineare, DEF 3.1.) e di indipendenza lineare (Dipendenza e Indipendenza Lineare) sono modi di astrarre dei concetti che riguardano i sistemi lineari (Sistemi Lineari).

C. BASE, DIMENSIONE E RANGO

C1. Definizione di base

Definizione di Base
Definizione di Base

Definizione di base. Teorema di caratterizzazione della base. Coordinate del vettore v rispetto alla base B. Esempi di base.

1. Definizione di base

Definizione 1.1. (Base).

Sia un K-spazio vettoriale (Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)) e sia un sottospazio vettoriale di V (Definizione 1 (sottospazio vettoriale)).
Allora una base di è un insieme formato da vettori di tali che:
è un sistema di generatori per (Definizione 5 (sistema di generatori per un spazio vettoriale))
e anche
sono linearmente indipendenti (Definizione 4 (vettori linearmente indipendenti))

Teorema di caratterizzazione delle basi

Teorema 1.1. (Caratterizzazione delle basi).

Sia un K-spazio vettoriale finitamente generato, allora un sottoinsieme , è una base di se e solo se ogni vettore si può scrivere in modo unico come combinazione lineare di .
è

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di caratterizzazione delle basi (Teorema 1.1. (Caratterizzazione delle basi))
Questo è un teorema del tipo se e solo se: quindi andiamo per due passi.

"": Sia una base di , allora devo dimostrare che ogni elemento di può essere scritta come combinazione lineare di in un modo unico.
Dato che è in particolare un sistema di generatori di , allora dato si può scrivere come combinazione lineare di , cioè

Ora ci rimane da dimostrare l'unicità di tale scrittura: supponiamo allora che esiste

Allora

Pertanto

Questa è una combinazione lineare nulla di (ovvero elementi di ): dato che questi sono anche linearmente indipendenti, allora l'unica possibilità di tale scrittura è solo se

che dimostra l'unicità della scrittura del vettore.

"": Ora supponiamo che ogni elemento può essere scritta in una maniera unica come combinazione lineare di .
Allora in particolare è sistema di generatori per .
Ci rimane da dimostrare che gli elementi di sono linearmente indipendenti; per farlo prendiamo il vettore nullo e scriviamo la sua combinazione lineare di elementi di :

D'altra parte si può scrivere

Per ipotesi la scrittura di combinazioni lineare di come elementi di è unica, allora discende che tutti i coefficienti sono nulli. Ovvero

ovvero sono linearmente indipendenti.

Coordinate di vettori rispetto ad una base

Definizione 1.2. (Coordinate di vettore rispetto alla base).

Sia un K-spazio vettoriale finitamente generato, sia una base di , e sia un vettore . Allora possiamo scrivere
in modo unico con .
Gli scalari sono detti le coordinate di rispetto alla base .

2. Esempi di basi

Ora consideriamo degli esempi di basi di spazi vettoriali.

Esempio 2.1. (Basi di ).

In possiamo considerare l'insieme
Si può dimostrare che è una base per .
Infatti è chiaramente sia sistema di generatori per e ogni vettore di sono linearmente indipendenti: si lascia la dimostrazione da svolgere per esercizio.
Si definisce tale base la base standard di .

Esempio 2.2. (Basi delle matrici ).

Nell'insieme delle matrici (Matrice, DEF 1.2.) possiamo considerare le matrici del tipo
dove ogni matrice è una matrice dove tutte le entrate sono a parte un elemento del posto , che è uguale a .
In parole prendiamo la matrice
e la "spacchettiamo" in matrici con un singolo elemento. Quindi è possibile dimostrare che tutti gli elementi di sono sia sistema di generatori per una qualsiasi matrice che linearmente indipendenti.

Osservazione 1 (Osservazione 2.1.).

Notiamo che il numero degli elementi (ovvero la cardinalità) dell'insieme è esattamente .

C2. Teoremi sulle basi

Teoremi sulle Basi
Teoremi sulle Basi

Tutti i teoremi sulle basi: teorema di estrazione di una base, teorema del completamento/estensione, lemma di Steinitz, teorema sul numero di elementi delle basi. Cenni/idee alle dimostrazioni di questi teoremi

1. Teorema di estrazione di una base

Questo primo teorema, come ci suggerisce il titolo, serve per "estrarre" una base da uno spazio vettoriale (Spazi Vettoriali), ovvero di determinarla.

Teorema 1.1. (Teorema di estrazione di una base).

Sia un K-spazio vettoriale, finitamente generato, sia un sistemi di generatori di .
Allora esiste tale che è base di .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di estrazione (Teorema 1.1. (Teorema di estrazione di una base))
Nota: questa non è una vera e propria dimostrazione, bensì un semplice cenno. Ci si focalizza in particolare su un algoritmo per scopi informatici.
In questa dimostrazione procediamo per costruzione, ovvero troviamo la base mediante il cosiddetto algoritmo dello scarto.
Inoltre supponiamo .

ALGORITMO (dello scarto)

  1. Inizializziamo la "lista vuota" (nel linguaggio C sarebbe un vettore/array, in Python una lista)
  2. Iterare tutti gli elementi di (equiv. for v in V)
    1. Consideriamo di: se , allora passiamo al prossimo; altrimenti aggiungo a .
      ATTENZIONE! Per ovviamente si intende il vettore nullo di .
    2. Consideriamo : se oppure , allora procedere al prossimo; altrimenti aggiungo questo a .
    3. Ripetere fino a .
  3. Alla fine otteniamo una lista che è sicuramente contenuto in che si può dimostrare essere base di (omessa, anche se semplice da dimostrare).

PSEUDOCODICE (quasi-Python)

def TrovaBase(vettore_nullo, sistema_di_generatori):
	B = []
	for v in sistema_di_generatori:
		if v == vettore_nullo or v in span(B):
			continue
		else:
			B.append(v)
		# Alternativamente si può solo negare la condizione e scrivere
		if v != vettore_nullo and v not in span(B):
			B.append(v)
	return B

2. Teorema del completamento

Ora consideriamo un teorema "speculare" a parte, ovvero a partire da un insieme di vettori linearmente indipendenti possiamo avere una base aggiungendo degli elementi (o anche nessuno).

Teorema 2.1. (Teorema del completamento/estensione).

Sia un K-spazio vettoriale, finitamente generato, siano elementi di linearmente indipendenti.
Allora esiste una base di tale che
in parole gli elementi possono essere "completati" per formare una base.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di estensione/completamento (Teorema 2.1. (Teorema del completamento/estensione))
Nota: anche qui diamo semplicemente un'idea della dimostrazione.
Dato che è finitamente generato, esiste un insieme di vettori di che è sistema di generatori per .
Allora se considero , vedo che anche questo è un sistema di generatori per . Infatti aggiungendo qualsiasi vettore ad un sistema di generatori, questo rimane comunque un sistema di generatori.
A quest'ultimo applico l'algoritmo dello scarto, ottenendo una base di , in quanto per come è fatto l'algoritmo "scarto" i vettori linearmente dipendenti.

Connessione tra base e indipendenza lineare

Osservazione 1 (enti minimali e massimali).

Da questi due teoremi osserviamo una relazione tra il concetto di base (Definizione di Base), indipendenza lineare (Dipendenza e Indipendenza Lineare) e sistema di generatori (Combinazione Lineare).
Da un lato abbiamo una base come un sistema di generatori "minimale", ovvero che contiene un numero minimo di vettori; oppure possiamo equivalentemente caratterizzare una base come un insieme di vettori linearmente dipendenti "massimale", ovvero che può essere estesa.

3. Teorema sulla cardinalità delle basi

Ora enunciamo un teorema importante che ci permetterà di definire la dimensione (Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) di un spazio vettoriale.

Lemma di Steinitz

Lemma 2 (di Steinitz.).

Sia un K-spazio vettoriale, finitamente generato, sia una base di .
Allora e per ogni scelta di vettori vale che sono linearmente dipendenti.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma di Steinitz (Lemma 2 (di Steinitz.))
Per ipotesi vale che gli elementi sono elementi di (dunque esprimibili come combinazione lineari della base), ovvero:

Ora consideriamo le coordinate di ogni vettore esprimibile come

Adesso consideriamo la combinazione lineare delle coordinate di , ovvero

Ora consideriamo il sistema lineare omogeneo del tipo

di cui possiamo dimostrare che è compatibile con una una soluzione non (tutta) nulla.

Osservazione 3 (giustificazione dell'ultimo passaggio).

Osserviamo che la matrice dei coefficienti
per ipotesi ha , ovvero è più "lunga" orizzontalmente. Quindi per "accuratezza" la scriviamo come
quindi gradinizzandola con Gauß (Algoritmo di Gauß) abbiamo dei "gradini" più lunghi di un elemento. Allora ho più "parametri liberi" non-nulli, determinando così soluzioni non nulle.

Teorema principale

Teorema 4 (sulla cardinalità delle basi).

Sia un K-spazio vettoriale, finitamente generato, siano e due basi di .
Allora ; ovvero le due basi hanno lo stesso numero di elementi (alt. "cardinalità").

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (Teorema 4 (sulla cardinalità delle basi))
Per il lemma di Steinitz (Lemma 2 (di Steinitz.)), abbiamo che questi due insiemi di vettori per essere basi (ovvero linearmente indipendenti e sistemi di generatori), deve valere

C3. Dimensione di un spazio vettoriale

Dimensione
Dimensione

Definizione di dimensione, esempi, osservazioni.

1. Definizione di Dimensione

Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale).

Sia un K-spazio vettoriale, finitamente generato; per definire la dimensione di abbiamo due opzioni.
Se , dove rappresenta il vettore nullo allora definiamo la dimensione di come il numero .
Altrimenti la definiamo come il numero di elementi di una sua qualsiasi base, ovvero la cardinalità della sua base .
Inoltre la denotiamo con

Osservazione 2 (la definizione è ben posta).

Per il teorema sulla cardinalità delle basi (Teorema 4 (sulla cardinalità delle basi)), questa definizione è ben posta.

2. Esempi vari

Esempio 3 (esempi misti).

Consideriamo le dimensioni dei seguenti spazi vettoriali:

Esempio 4 (numeri complessi).

Nota: questo esempio è tratto dalla dispensa e l'ho riproposta in quanto la si ritiene interessante
Ora consideriamo l'insieme dei numeri complessi (Introduzione ai Numeri Complessi), che sappiamo essere un campo.
Se lo consideriamo come il spazio vettoriale su se stesso, allora questa ovviamente ha
Tuttavia, possiamo considerare l' spazio vettoriale , dando a un operazione di scalamento su , secondo delle osservazioni (Operazioni sui Numeri Complessi > ^d57f49), e un operazione di somma componente per componente: allora in questo caso si ha
Questo esempio è importante per ricordarci che la nozione di non dipende solo dal spazio vettoriale in sé, ma anche la "base d'appoggio" della base stessa.

3. Dimensione di un sottospazio

Osservazione 5 (osservazione sui sottospazi vettoriali).

Notiamo che il concetto di dimensione di un spazio vettoriale si applica anche ai suoi sottospazi vettoriali (Definizione 1 (sottospazio vettoriale)) .

Proposizione 6 (dimensione di un sottospazio vettoriale).

Sia un K-spazio vettoriale, finitamente generato; sia un sottospazio vettoriale. Allora valgono le seguenti:

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 3.1. (Proposizione 6 (dimensione di un sottospazio vettoriale))
Nota: la dimostrazione è stata lasciata per esercizio, quindi non è detto che sia corretta.
La dimostrazione segue dal teorema di completamento della base (Teorema 2.1. (Teorema del completamento/estensione)); supponiamo la base di .
Allora sapendo che deduciamo che (ovvero tutti gli elementi della base di sono elementi di ); poiché questi sono anche linearmente indipendenti, per il teorema di completamento della base abbiamo , dove l'insieme a destra rappresenta gli elementi necessari per poter "completare" la base.
Pertanto gli elementi dell'insieme che sta a sinistra sarà sempre maggiore o uguale agli elementi dell'insieme a destra, in quanto a questo "aggiungo o qualcosa o nulla".
Supponendo che non ho nessun elemento da aggiungere per completare la base, avrei .
Quindi le basi sono le stesse, che vuol dire che una base di è anche di e viceversa: pertanto .

4. Idea del concetto

Osservazione 7 (Conclusione.).

Con il concetto della dimensione per i spazi vettoriali siamo riusciti ad associare ogni K-spazio vettoriale finitamente generato ad un numero naturale ; infatti è possibile pensare la dimensione come una funzione che dato un certo spazio vettoriale ci manda un numero naturale. Infatti
Dopodiché compiremo una azione analoga con le matrici mediante il concetto di Rango.

C4. Rango di una matrice

Rango
Rango

Definizione di rango, osservazioni, esempi.

1. Definizione di rango

Osservazione 1 (le colonne di una matrice vivono in ).

Sia , allora le colonne di sono tutti elementi di . Dunque

Definizione 2 (rango).

Sia ; definiamo il rango della matrice (Definizione 1 (matrice a coefficienti in )) e lo denotiamo con oppure (la seconda è la dicitura internazionale) come la dimensione (Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) dello span (Lemma 4 (lo span è sempre un sottospazio vettoriale)) dello sottospazio generato dalle colonne di :

2. Osservazioni sul rango

Osservazione 3 (Osservazione 2.1. (il rango è limitato da due numeri)).

Se allora

Osservazione 4 (Osservazione 2.2.).

Noteremo che questa definizione non cambierebbe, se invece di considerare le colonne considerassimo le righe.

3. Esempio

Esempio 5 (matrice 2x3).

Consideriamo la matrice
Dalla definizione di rango e dall'osservazione 1.2. sappiamo che
Dato che tutte le colonne sono linearmente indipendenti.
Invece se due colonne fossero invece linearmente dipendenti, quindi proporzionali tra di loro (in quanto una di queste sono ottenibili mediante lo scalamento dell'altro), allora avremmo

Esempio 6 (matrice identità 𝟙).

Sia 𝟙 la matrice identità x (Definizione 17 (matrice identità di ordine )), abbiamo
𝟙

4. Teoremi

Per dei teoremi vedere questa pagina: Teoremi su Rango

C5. Teoremi sul rango

Teoremi su Rango
Teoremi su Rango

Teoremi e/o proposizioni sul rango: metodo per computare il rango, connessione colonne-righe.

1. Metodo per computare il rango

Ora vedremo una proposizione che ci permetterà di calcolare il rango di una matrice usando l'algoritmo di Gauß (Algoritmo di Gauß)

Proposizione 1 (Effetti degli O.E. sul rango).

Sia e una matrice ottenuta da applicando le operazioni elementari OE1,2,3,. (Algoritmo di Gauß > ^8a7c5e, Algoritmo di Gauß > ^1f10d6, Definizione 2 (le operazioni elementari)); allora valgono le seguenti:
è

DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1..
Omessa.

2. Connessione colonne-righe

Proposizione 2 (Proposizione 2.1.).

Sia ; allora vale che
ovvero che il rango di una matrice è alla stessa della sua trasposta (Operazioni particolari con matrici > ^bf11d7); quindi considerare la colonna oppure la riga per trovare il rango non cambia.

3. Invertibilità di una matrice

Osservazione 3 (collegamento Rouché-Capelli e Cramer).

Guardando il corollario del teorema di Rouché-Capelli (Corollario 2 (del teorema di Rouché-Capelli)), notiamo che questo ci ricorda il teorema di Cramer (Teorema 1 (di Cramer)): infatti entrambe prescrivono la compatibilità di un sistema lineare, sotto certe condizioni. C'è una connessione più profonda tra questi due teoremi? Ora vediamo con la seguente proposizione.

Proposizione 4 (Invertibilità di una matrice).

Sia una matrice quadrata (Definizione 6 (matrice quadrata di ordine )).
Allora il rango di questa matrice è massima (ovvero ) se e solo se questa è invertibile:
𝟙

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della Proposizione 3.1..
Questo è un teorema del tipo "se e solo se": dimostriamo dunque due implicazioni.
"": Sia invertibile, allora per il teorema di Cramer,
Dunque per il corollario di Rouché-Capelli (Corollario 2 (del teorema di Rouché-Capelli)),
"": Supponendo , voglio mostrare che esiste inversa di (ovvero 𝟙.
Allora è sufficiente costruire la matrice tale che 𝟙.
Ora, vale che
𝟙Dove il numero sta in posizione -esimo.
Chiamo dunque il vettore-colonna
Allora 𝟙 se e solo se tutti i sistemi lineari
sono compatibili per .
Dato che , sappiamo che tutti questi sistemi lineari sono compatibili e dunque le loro soluzioni determineranno le colonne della matrice .

D. CONSEGUENZE TEORICHE

D1. Teorema di dimensione di soluzione dei sistemi lineari

Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari
Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari

Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari: enunciato e dimostrazione

1. Enunciato del teorema

Teorema 1 (teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari).

Sia ;
sia l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ad (Definizione 5 (sistema omogeneo)) con , , ovvero
Allora

2. Dimostrazione

D2. Teorema di Rouché-Capelli

Teorema di Rouché-Capelli
Teorema di Rouché-Capelli

Teorema Rouché-Capelli: enunciato, dimostrazione e corollario. Esempio di applicazione

1. Enunciato

Teorema 1 (di Rouché-Capelli).

Sia una matrice, sia un "vettore-colonna".
Allora il sistema lineare composto da
è compatibile se e solo se vale che il rango di è uguale a quella della matrice completa (Definizione 1 (matrice completa di un sistema lineare));
In tal caso la generica soluzione della soluzione dipende da parametri liberi.

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (Teorema 1.1.)
La dimostrazione si articolerà in due parti principali: nella prima dimostriamo l'equivalenza "se e solo se", nella seconda dimostriamo che la generica soluzione dipende da .
Dunque dimostriamo l'equivalenza
"": Suppongo che sia compatibile; allora esiste una soluzione tale che . Notiamo che possiamo "esplicitare la scrittura" applicando la definizione della moltiplicazione righe per colonne (Operazioni particolari con matrici > ^eecbc9); allora questo equivale a dire
il che significa è combinazione lineare dei vettori colonna della matrice . Dunque
e ciò implica il seguente
(la dimostrazione è lasciata da svolgere per esercizio)
Allora
che per definizione è proprio
Ora dimostriamo il viceversa.
"": Supponiamo che valga .
Allora per definizione del rango (Definizione 2 (rango)) ricaviamo che
Il fatto che le dimensioni (Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) di queste sono uguali implica che i sottospazi stessi sono uguali (Proposizione 6 (dimensione di un sottospazio vettoriale)); allora
Pertanto
Ma precedentemente abbiamo osservato che quest'ultima equivale a dire che il sistema
è compatibile.

Passaggio non banale

Il passaggio meno scontato di questa dimostrazione è quella di esplicitare la scrittura, applicando la nozione di prodotto righe per colonne.
Inoltre un altro passaggio non banale è quello di applicare la proposizione per cui se due vettori sono linearmente dipendenti, allora il span di entrambi è uguale a span di una dei vettori.

Ora mostriamo la seconda parte del teorema: ovvero che se è compatibile, allora la sua generica soluzione dipende da parametri liberi.
Per farlo useremo il teorema di struttura delle soluzioni di sistemi lineari (Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato)) e il teorema di dimensione per le soluzioni di un sistema lineare omogeneo (Teorema 1 (teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari)).
Il primo ci dice che la generica soluzione è della forma
dove è una soluzione fissata di , invece una soluzione per il sistema lineare omogeneo associato .
Il secondo teorema ci dice che il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ha la dimensione .
Allora esiste una base di formata da elementi;
e ogni è combinazione lineare (unica) di .
Allora
In definitiva la generica soluzione di è della forma

3. Corollario

Dalla dimostrazione di questo teorema segue il seguente corollario.

Corollario 2 (del teorema di Rouché-Capelli).

Sia .
Allora (ovvero il rango è il massimo possibile) se e solo se per ogni il sistema lineare è compatibile.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (Corollario 3.1.)
Nella dimostrazione del teorema 1.1. (^fe5f64) abbiamo visto che
Nella nostra situazione abbiamo che e ; pertanto
è

4. Esempio

Vediamo un esempio che fa uso di questo teorema.

Esempio 3 (Esempio 4.1.).

Considero il sistema lineare
Lo "traduciamo" in termini di matrici e vettori colonna:
dove
Calcolando e , ci viene fuori
dato che sono entrambi a scala e non hanno righe nulle.
Dunque per il teorema di Rouché-Capelli il sistema lineare ammette soluzione/i; inoltre la generica soluzione dipende da elementi.
Si lascia al lettore di completare l'esempio determinando la generica soluzione per esercizio.

Table Of Contents
A. LE DEFINIZIONI BASILARI
A1. Spazio vettoriale
1. Definizione di spazio vettoriale e vettore
2. Conseguenze immediate delle 8 "v"
EXCURSUS. Il senso della definizione dei spazi vettoriali
3. Esempi di spazi vettoriali
A2. Sottospazio vettoriale
1. Sottospazio Vettoriale
2. Interpretazione geometrica
3. Formare sottospazi a partire da due sottospazi
Il vuoto
Sottospazio somma
B. LA COMBINAZIONE LINEARE E I SUOI FIGLI
B1. Combinazione lineare
1. Definizione di Combinazione Lineare
2. L'insieme delle combinazioni lineari span
3. Sistema di generatori
B2. Dipendenza, indipendenza lineare
1. Dipendenza lineare
2. Indipendenza lineare
B3. Nesso tra i spazi vettoriali e i sistemi lineari
Osservazione sui sistemi di generatori e indipendenza lineare
C. BASE, DIMENSIONE E RANGO
C1. Definizione di base
1. Definizione di base
Teorema di caratterizzazione delle basi
Coordinate di vettori rispetto ad una base
2. Esempi di basi
C2. Teoremi sulle basi
1. Teorema di estrazione di una base
2. Teorema del completamento
Connessione tra base e indipendenza lineare
3. Teorema sulla cardinalità delle basi
Lemma di Steinitz
Teorema principale
C3. Dimensione di un spazio vettoriale
1. Definizione di Dimensione
2. Esempi vari
3. Dimensione di un sottospazio
4. Idea del concetto
C4. Rango di una matrice
1. Definizione di rango
2. Osservazioni sul rango
3. Esempio
4. Teoremi
C5. Teoremi sul rango
1. Metodo per computare il rango
2. Connessione colonne-righe
3. Invertibilità di una matrice
D. CONSEGUENZE TEORICHE
D1. Teorema di dimensione di soluzione dei sistemi lineari
1. Enunciato del teorema
2. Dimostrazione
D2. Teorema di Rouché-Capelli
1. Enunciato
2. Dimostrazione
3. Corollario
4. Esempio