data: 2023-10-05
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Spazi Vettoriali - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"A. LE DEFINIZIONI BASILARI
Spazi e sottospazi vettoriali. Formalizzazione del linguaggio a partire dalla lezione del 31.10.2023
data: 2023-10-03
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Spazi Vettoriali
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di
Cerchiamo di astrarre quanto visto in Vettori LiberiVettori Liberi e Operazioni sui vettori liberiOperazioni sui vettori liberi.
Un
Chiamiamo l'elemento
Notare che nella
Ciò che abbiamo visto fino ad ora ci mostra che
Sia
! ATTENZIONE ! Si nota immediatamente che questa definizione del vettore non deve necessariamente corrispondere alla nostra idea di un vettore libero.
L'assioma
Però
DIMOSTRAZIONE dell'unicità di
Voglio dimostrare che se
Supponiamo quindi che esistano due elementi neutri:
Per ipotesi,
La proposizione
Quindi vogliamo dimostrare che se
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.2.
Per dimostrare la tesi, supponiamo che
Notare che in questi passaggi abbiamo fatto un assunto che non è dato per scontato; ovvero che il vettore opposto
Anche la proposizione
Quindi vogliamo dimostrare che se
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.3.
Per dimostrare la tesi, utilizziamo la proprietà
Si nota che in questa pagina non abbiamo veramente imparato qualcosa di nuovo; come il filosofo F. Nietzsche criticherebbe l'uomo che produce la definizione di un mammifero poi per riconoscere un cammello come un mammifero
In realtà il discorso del filosofo tedesco non varrebbe qui: abbiamo dato questa definizione di spazio vettoriale per un motivo ben preciso, ovvero quello di astrarre, "abs-trahĕre". Astrarre nel senso che togliamo l'aspetto "accidentale" dei vettori geometrici, concentrandoci invece sull'aspetto "sostanziale".
Infatti dopo potremmo vedere che esistono molti insiemi che sono dei spazi vettoriali; se dimostro che un certo insieme
Consideriamo
Consideriamo
Generalizziamo l'ESEMPIO 2.1. Coppie ordinate $V_2$ESEMPIO 2.1. Coppie ordinate
Consideriamo l'insieme delle funzioni di variabile realefunzioni di variabile reale (Funzioni > ^dcc989Definizione 5 (funzione di reale variabile)), ovvero
Qui è importante chiarire il comportamento della somma, in quanto per noi non risulta immediatamente intuibile. Siano
Lo stesso discorso vale per lo scalamento;
Vogliamo trovare la funzione nulla, ovvero la funzione che appartiene a
data: 2023-10-04
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Sottospazi Vettoriali
tipologia: appunti
stato: "1"Sottospazio vettorali: definizione, esempi, interpretazione geometrica. Alcuni lemmi sui sottospazi vettoriali.
Sia
Consideriamo ora l'
Ora consideriamo il seguente sottoinsieme
In
In
Infine consideriamo
Consideriamo
Definiamo il sottoinsieme
FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
In
Precisamente nel contesto della geometria analitica,
Vediamo subito che
FIGURA 2.2. (Esempio 2.2.)
Sia
Se voglio avere un nuovo sottospazio vettoriale a partire da
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 3.1.
Verifichiamo che
Purtroppo questa non vale per l'unione di due sottospazi vettoriali.
Infatti, avendo
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE di osservazione 3.1..
Per "dimostrare" questa osservazione troviamo alcuni esempi specifici di sottospazi vettoriali per cui non vale almeno una delle tre proprietà dello sottospazio vettoriale: scopriremo che non varrà la chiusura della somma per un caso specifico.
Considero
FIGURA 3.1. (Osservazione 3.1.)
Allora vogliamo trovare un "surrogato" per questo vuoto formato dal fatto che
Sia
Definiamo dunque il sottospazio vettoriale somma di
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE. (Esercizio lasciato a noi)
Con la notazione precisa valgono che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 3.2..
Mostrare la prima significa mostrare che per ogni elemento
Vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 3.1..
Omessa.
data: 2023-11-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Combinazione Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di combinazione lineare di un K-spazio vettoriale; definizione di
Sia
Allora definiamo combinazione lineare un qualsiasi vettore (Spazi VettorialiSpazi Vettoriali, DEF 1.1.) della forma
In
Ora voglio considerare l'insieme delle combinazioni lineari.
Sia
Allora chiamo lo span di
Lo span di un qualunque
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 2.1.
Verifichiamo le tre proprietà fondamentali dello sottospazio vettoriale.
Sia
Un insieme di elementi
Consideriamo
Infatti dato un vettore
Notiamo inoltre che se definiamo
Osserviamo che se
In parole, dato un sistema di generatori per un certo sottoinsieme allora possiamo aggiungerci qualsiasi elemento del sottoinsieme, dandoci comunque un altro sistema di generatori per lo stesso sottoinsieme.
Da questo discende che la definizione di sistema di generatori presenta in sé molta flessibilità e variabilità; tuttavia secondo una specie di "legge meta-matematica", troppa flessibilità è un segno di un ente matematico meno forte.
Introdurremo dunque della "rigidità" con le basi (Definizione di BaseDefinizione di Base), arricchendo questo concetto con ulteriori vincoli.
data: 2023-11-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Dipendenza e Indipendenza Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di dipendenza o indipendenza lineare per degli elementi di uno spazio vettoriale.
Sia
Allora gli elementi/vettori
Sia
Equivalentemente, se e solo se
Per poter compattare la scrittura sopra si può scrivere
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1.
Dimostro che vale l'implicazione da ambi i lati in quanto abbiamo un enunciato del tipo "se e solo se".
"
Ora siamo pronti per definire l'indipendenza lineare.
Sia
Dichiamo che questi vettori
Equivalentemente,
Alternativamente,
Considero in
data: 2023-11-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Generatori, Indipendenza Lineare e Sistemi Lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Breve osservazione sui concetti di generatori, indipendenza lineare come astrazioni di aspetti dei sistemi lineare.
In
Scriviamo dunque
Analogamente l'essere linearmente indipendenti può essere parafrasata in termini di sistemi lineari usando il sistema lineare omogeneo associato: infatti avendo un sistema del tipo
Concludiamo che i concetti di sistemi di generatori (Combinazione LineareCombinazione Lineare, DEF 3.1.) e di indipendenza lineare (Dipendenza e Indipendenza LineareDipendenza e Indipendenza Lineare) sono modi di astrarre dei concetti che riguardano i sistemi lineari (Sistemi LineariSistemi Lineari).
data: 2023-11-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Base
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di base. Teorema di caratterizzazione della base. Coordinate del vettore v rispetto alla base B. Esempi di base.
Sia
Allora una base di
e anche
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di caratterizzazione delle basi (^128180Teorema 1.1. (Caratterizzazione delle basi))
Questo è un teorema del tipo se e solo se: quindi andiamo per due passi.
"
Dato che
Ora ci rimane da dimostrare l'unicità di tale scrittura: supponiamo allora che esiste
Allora
Pertanto
Questa è una combinazione lineare nulla di
che dimostra l'unicità della scrittura del vettore.
"
Allora in particolare
Ci rimane da dimostrare che gli elementi di
D'altra parte si può scrivere
Per ipotesi la scrittura di combinazioni lineare di
ovvero
Sia
Gli scalari
Ora consideriamo degli esempi di basi di spazi vettoriali.
In
Infatti è chiaramente sia sistema di generatori per
Si definisce tale base la base standard di
Nell'insieme delle matrici
In parole prendiamo la matrice
Notiamo che il numero degli elementi (ovvero la cardinalità) dell'insieme
data: 2023-11-14
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teoremi sulle Basi
tipologia: appunti
stato: "1"Tutti i teoremi sulle basi: teorema di estrazione di una base, teorema del completamento/estensione, lemma di Steinitz, teorema sul numero di elementi delle basi. Cenni/idee alle dimostrazioni di questi teoremi
Questo primo teorema, come ci suggerisce il titolo, serve per "estrarre" una base da uno spazio vettoriale (Spazi VettorialiSpazi Vettoriali), ovvero di determinarla.
Sia
Allora esiste
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di estrazione (^938ed7Teorema 1.1. (Teorema di estrazione di una base))
Nota: questa non è una vera e propria dimostrazione, bensì un semplice cenno. Ci si focalizza in particolare su un algoritmo per scopi informatici.
In questa dimostrazione procediamo per costruzione, ovvero troviamo la base
Inoltre supponiamo
ALGORITMO (dello scarto)
for v in V)
PSEUDOCODICE (quasi-Python)
def TrovaBase(vettore_nullo, sistema_di_generatori):
B = []
for v in sistema_di_generatori:
if v == vettore_nullo or v in span(B):
continue
else:
B.append(v)
# Alternativamente si può solo negare la condizione e scrivere
if v != vettore_nullo and v not in span(B):
B.append(v)
return B
Ora consideriamo un teorema "speculare" a parte, ovvero a partire da un insieme di vettori linearmente indipendenti possiamo avere una base aggiungendo degli elementi (o anche nessuno).
Sia
Allora esiste una base
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di estensione/completamento (^dbffbaTeorema 2.1. (Teorema del completamento/estensione))
Nota: anche qui diamo semplicemente un'idea della dimostrazione.
Dato che
Allora se considero
A quest'ultimo applico l'algoritmo dello scarto, ottenendo una base
Da questi due teoremi osserviamo una relazione tra il concetto di base (Definizione di BaseDefinizione di Base), indipendenza lineare (Dipendenza e Indipendenza LineareDipendenza e Indipendenza Lineare) e sistema di generatori (Combinazione LineareCombinazione Lineare).
Da un lato abbiamo una base come un sistema di generatori "minimale", ovvero che contiene un numero minimo di vettori; oppure possiamo equivalentemente caratterizzare una base come un insieme di vettori linearmente dipendenti "massimale", ovvero che può essere estesa.
Ora enunciamo un teorema importante che ci permetterà di definire la dimensione (Dimensione > ^3a9321Definizione 1 (dimensione di un spazio vettoriale)) di un spazio vettoriale.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma di Steinitz (^f23180Lemma 2 (di Steinitz.))
Per ipotesi vale che gli elementi
Ora consideriamo le coordinate di ogni vettore
Adesso consideriamo la combinazione lineare delle coordinate di
Ora consideriamo il sistema lineare omogeneo del tipo
di cui possiamo dimostrare che è compatibile con una una soluzione non (tutta) nulla.
Osserviamo che la matrice dei coefficienti
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (^c61910Teorema 4 (sulla cardinalità delle basi))
Per il lemma di Steinitz (^f23180Lemma 2 (di Steinitz.)), abbiamo che questi due insiemi di vettori per essere basi (ovvero linearmente indipendenti e sistemi di generatori), deve valere
data: 2023-11-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Dimensione
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di dimensione, esempi, osservazioni.
Sia
Se
Altrimenti la definiamo come il numero di elementi di una sua qualsiasi base, ovvero la cardinalità della sua base
Inoltre la denotiamo con
Per il teorema sulla cardinalità delle basi (Teoremi sulle Basi > ^c61910Teorema 4 (sulla cardinalità delle basi)), questa definizione è ben posta.
Consideriamo le dimensioni dei seguenti spazi vettoriali:
Nota: questo esempio è tratto dalla dispensa e l'ho riproposta in quanto la si ritiene interessante
Ora consideriamo l'insieme dei numeri complessi
Se lo consideriamo come il spazio vettoriale su se stesso, allora questa ovviamente ha
Notiamo che il concetto di dimensione
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 3.1. (^265196Proposizione 6 (dimensione di un sottospazio vettoriale))
Nota: la dimostrazione è stata lasciata per esercizio, quindi non è detto che sia corretta.
La dimostrazione segue dal teorema di completamento della base (Teoremi sulle Basi > ^dbffbaTeorema 2.1. (Teorema del completamento/estensione)); supponiamo la base di
Allora sapendo che
Pertanto gli elementi dell'insieme che sta a sinistra sarà sempre maggiore o uguale agli elementi dell'insieme a destra, in quanto a questo "aggiungo o qualcosa o nulla".
Supponendo che non ho nessun elemento da aggiungere per completare la base, avrei
Quindi le basi sono le stesse, che vuol dire che una base di
Con il concetto della dimensione per i spazi vettoriali siamo riusciti ad associare ogni K-spazio vettoriale finitamente generato ad un numero naturale
data: 2023-11-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Rango
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di rango, osservazioni, esempi.
Sia
Sia
Se
Noteremo che questa definizione non cambierebbe, se invece di considerare le colonne considerassimo le righe.
Consideriamo la matrice
Invece se due colonne fossero invece linearmente dipendenti, quindi proporzionali tra di loro (in quanto una di queste sono ottenibili mediante lo scalamento dell'altro), allora avremmo
Sia
Per dei teoremi vedere questa pagina: Teoremi su RangoTeoremi su Rango
data: 2023-11-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teoremi su Rango
tipologia: appunti
stato: "1"Teoremi e/o proposizioni sul rango: metodo per computare il rango, connessione colonne-righe.
Ora vedremo una proposizione che ci permetterà di calcolare il rango di una matrice usando l'algoritmo di Gauß (Algoritmo di GaußAlgoritmo di Gauß)
Sia
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1..
Omessa.
Sia
Guardando il corollario del teorema di Rouché-Capelli (Teorema di Rouché-Capelli > ^4ed5f2Corollario 2 (del teorema di Rouché-Capelli)), notiamo che questo ci ricorda il teorema di Cramer (Teoremi sui Sistemi Lineari > ^97243eTeorema 1 (di Cramer)): infatti entrambe prescrivono la compatibilità di un sistema lineare, sotto certe condizioni. C'è una connessione più profonda tra questi due teoremi? Ora vediamo con la seguente proposizione.
Sia
Allora il rango di questa matrice è massima (ovvero
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della Proposizione 3.1..
Questo è un teorema del tipo "se e solo se": dimostriamo dunque due implicazioni.
"
Allora è sufficiente costruire la matrice
Ora, vale che
Chiamo dunque
Dato che
data: 2023-11-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari: enunciato e dimostrazione
Sia
sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (Teorema 1.1.)
Questo teorema segue direttamente dal teorema di struttura della dimensione delle applicazioni lineari (Teorema di dimensione per le Applicazioni Lineari > ^ccde56Teorema 1 (di dimensione per le applicazioni lineari))
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 1.1. (^f7c31cCorollario 1 (Corollario 1.1. (teorema di dimensione delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo)))
Visto che
data: 2023-11-17
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema di Rouché-Capelli
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema Rouché-Capelli: enunciato, dimostrazione e corollario. Esempio di applicazione
Sia
Allora il sistema lineare composto da
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (Teorema 1.1.)
La dimostrazione si articolerà in due parti principali: nella prima dimostriamo l'equivalenza "se e solo se", nella seconda dimostriamo che la generica soluzione dipende da
Dunque dimostriamo l'equivalenza
Allora
"
Allora per definizione del rango (Rango > ^d641ffDefinizione 2 (rango)) ricaviamo che
Il passaggio meno scontato di questa dimostrazione è quella di esplicitare la scrittura, applicando la nozione di prodotto righe per colonne.
Inoltre un altro passaggio non banale è quello di applicare la proposizione per cui se due vettori sono linearmente dipendenti, allora il span di entrambi è uguale a span di una dei vettori.
Ora mostriamo la seconda parte del teorema: ovvero che se
Per farlo useremo il teorema di struttura delle soluzioni di sistemi lineari (Teoremi sui Sistemi Lineari > ^49a263Definizione 9 (sistema lineare omogeneo associato)) e il teorema di dimensione per le soluzioni di un sistema lineare omogeneo (Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari > ^b69f0cTeorema 1 (teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari)).
Il primo ci dice che la generica soluzione
Il secondo teorema ci dice che il sottospazio vettoriale
Allora esiste una base
Allora
Dalla dimostrazione di questo teorema segue il seguente corollario.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (Corollario 3.1.)
Nella dimostrazione del teorema 1.1. (^fe5f64^fe5f64) abbiamo visto che
Vediamo un esempio che fa uso di questo teorema.
Considero il sistema lineare
Dunque per il teorema di Rouché-Capelli il sistema lineare
Si lascia al lettore di completare l'esempio determinando la generica soluzione per esercizio.